Modèle proie-prédateur en temps discret

Ce modèle à décrit l'évolution de deux variables couplées : la population d'un prédateur, par exemple le loup, et celle de ses proies, par exemple le renard. On note X la population de renards, et Y celle des loups. On se place ici dans le cadre d'une modèle à temps discret, c'est à dire que l'on compte les loups et les renards à intervalle de temps régulier, par exemple une fois par jour. On se ramène donc à une suite à deux variables, pour laquelle il faut écrire Xn+1 et Yn+1 en fonction de Xn et Xn. La variation de Xn+1 et Yn+1 est égale au nombre de naissances moins le nombre de décés.

En absence de loups, le nombre de naissances chez les renards est proportionnelle au nombre de renards, sauf si ce nombre devient trop grand: dans ce cas, il y a compétition entre les renards, et leur population stagne, ou se met à osciller. On écrit Xn+1 = a × Xn × (1 – Xn). On reconnait la suite logistique. Le nombre de décés chez les renards est proportionnel au nombre de rencontres renard-loup, c'est à dire Xn × Yn. Les loups ne meurent que de mort naturelle, et donc le nombre de décés chez les loups est un pourcentage du nombre de loups. Le nombre de naissances chez les loups est proportionnelle à la nourriture ingérée, c'est à dire au nombre de renards tués Xn × Yn. On obtient :

Xn+1 = a × Xn × (1 – Xn) – b × Xn × Yn

Yn+1 = c × Xn × Yn – d × Yn

Le premier graphique ci-dessous représente l'évolution du nombre de loups et de renards en fonction des itérations. Le second graphique représente le nombre de loups en fonction du nombre de renards.

Essayez par vous même

Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier les valeurs de a, b, c et d.

Xn+1 = 2 × Xn × (1 – Xn) – 2 × Xn × Yn

Yn+1 = 3.5 × Xn × Yn 0.02 × Yn

a  2 4

b  2 4

c2.7 4

d  0 0.1

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